¿Cuándo una conclusión está justificada?
01En la sección anterior combinamos hechos y reglas. Ahora vamos a comprobar razonamientos en todos los mundos posibles.
02Al terminar: escribir fórmulas, construir tablas y encontrar contraejemplos.
Hechos + reglas ⟶ ¿conclusión válida?
Afirmar algo que puede ser verdadero o falso.
01«Llueve» es una proposición, aunque todavía no sepamos su valor.
02«¿Llueve?» pregunta; «Cerrá la puerta» ordena. No son proposiciones.
¿Cuál es una proposición?
Unas pocas reglas, muchas fórmulas.
01Una variable P es una fórmula.
02Si α es una fórmula, ¬α también lo es.
03Si α y β son fórmulas, podemos formar (α ∧ β), (α ∨ β), (α → β) y (α ↔ β).
(¬P ∨ Q)
Primero definí qué significa cada letra.
01P: «El pedido está pagado». Q: «El pedido se puede preparar».
02«Si el pedido está pagado, entonces se puede preparar».
03Invertir la flecha cambia lo que afirmamos.
P → Q
¿Cuál está bien formada?
Un mundo posible asigna valores.
01Con P y Q hay cuatro interpretaciones: VV, VF, FV y FF.
02Cada variable puede tomar dos valores: con n variables hay 2ⁿ mundos.
03Una fila representa una interpretación, no un paso del tiempo.
2² = 4 interpretaciones
Negar invierte el valor.
| P | ¬P |
|---|---|
| V | ? |
| F | ? |
Anticipá el resultado usando los valores de esta fila. Después justificá tu respuesta.
Para «y» necesitamos ambas.
| P | Q | P ∧ Q |
|---|---|---|
| V | V | ? |
| V | F | ? |
| F | V | ? |
| F | F | ? |
Anticipá el resultado usando los valores de esta fila. Después justificá tu respuesta.
El «o» lógico incluye «ambas».
| P | Q | P ∨ Q |
|---|---|---|
| V | V | ? |
| V | F | ? |
| F | V | ? |
| F | F | ? |
Anticipá el resultado usando los valores de esta fila. Después justificá tu respuesta.
Una sola fila hace falsa la implicación.
| P | Q | P → Q |
|---|---|---|
| V | V | ? |
| V | F | ? |
| F | V | ? |
| F | F | ? |
Anticipá el resultado usando los valores de esta fila. Después justificá tu respuesta.
Antecedente falso, ¿qué podemos afirmar?
«Si y solo si»: los valores coinciden.
| P | Q | P ↔ Q |
|---|---|---|
| V | V | ? |
| V | F | ? |
| F | V | ? |
| F | F | ? |
Anticipá el resultado usando los valores de esta fila. Después justificá tu respuesta.
Una fila no alcanza para clasificar.
01Tautología: verdadera en todos los mundos.
02Contradicción: falsa en todos los mundos.
03Contingencia: verdadera en algunos y falsa en otros.
Llueve o no llueve.
| P | ¬P | P ∨ ¬P |
|---|---|---|
| V | ? | ? |
| F | ? | ? |
Anticipá el resultado usando los valores de esta fila. Después justificá tu respuesta.
Llueve y no llueve.
| P | ¬P | P ∧ ¬P |
|---|---|---|
| V | ? | ? |
| F | ? | ? |
Anticipá el resultado usando los valores de esta fila. Después justificá tu respuesta.
Una regla puede ser contingente.
| P | Q | P → Q |
|---|---|---|
| V | V | ? |
| V | F | ? |
| F | V | ? |
| F | F | ? |
Anticipá el resultado usando los valores de esta fila. Después justificá tu respuesta.
Buscamos una combinación imposible.
01Un razonamiento es válido si no hay un mundo con todas sus premisas verdaderas y su conclusión falsa.
02Un solo contraejemplo alcanza para demostrar invalidez.
03Validez del razonamiento y verdad de una afirmación son preguntas diferentes.
α ⊨ β · β se sigue lógicamente de α
Si P implica Q, y P, entonces Q.
| P | Q | P → Q | Premisas: (P → Q) ∧ P | ((P → Q) ∧ P) → Q |
|---|---|---|---|---|
| V | V | ? | ? | ? |
| V | F | ? | ? | ? |
| F | V | ? | ? | ? |
| F | F | ? | ? | ? |
Anticipá el resultado usando los valores de esta fila. Después justificá tu respuesta.
La calle está mojada. ¿Entonces llovió?
| P | Q | P → Q | Premisas: (P → Q) ∧ Q | ((P → Q) ∧ Q) → P |
|---|---|---|---|---|
| V | V | ? | ? | ? |
| V | F | ? | ? | ? |
| F | V | ? | ? | ? |
| F | F | ? | ? | ? |
Anticipá el resultado usando los valores de esta fila. Después justificá tu respuesta.
Encontrá la fila decisiva.
La fórmula también es una estructura de datos.
01Una variable se representa con su nombre.
02Una negación tiene un operando; un conectivo binario tiene dos.
03El árbol conserva los paréntesis y permite evaluar de adentro hacia afuera.
P → Q
formula = ("->", "P", "Q")
mundo = {"P": True, "Q": False}La tabla se convierte en código.
01El caso base consulta el valor de una variable en el mundo.
02Los demás casos evalúan sus operandos y aplican el conectivo.
if isinstance(formula, str):
return mundo[formula]
# Para el operador "->":
return (not izq) or derMismo evaluador, dos razonamientos.
01product([True, False], repeat=n) enumera los mundos.
02all(resultados): tautología. Ninguno verdadero: contradicción. Mezcla: contingencia.
03El programa original compara modus ponens con afirmar el consecuente.
python ej1_tabla_verdad.py
Modus ponens: V V V V
Falacia: V V F VDuplicar opciones tiene un costo.
012 variables → 4 mundos.
0210 variables → 1.024 mundos.
0330 variables → 1.073.741.824 mundos.
n variables → 2ⁿ interpretaciones
Una letra no muestra objetos ni propiedades.
01S: «Sócrates es mortal». T: «Platón es mortal».
02Para este lenguaje, S y T son átomos distintos; no comparten una propiedad visible.
03Una regla general sobre todos los individuos requiere predicados y cuantificadores.